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魯老師
從事CFA培訓(xùn)教育六年，熟悉CFA課程體系，規(guī)劃考試方案，提供CFA備考建議。
在利率期限結(jié)構(gòu)中，某些關(guān)鍵的整數(shù)期限的利率對金融市場交易者心理產(chǎn)生的影響是至關(guān)重要的。1年期利率、5年期利率和10年期利率就是這些關(guān)鍵期限利率的典型代表。關(guān)鍵利率久期(Key-Rate Duration)正是以這些關(guān)鍵期限利率為基礎(chǔ)，衡量固定收益證券價格對利率敏感性的分析方法。具體而言，它描述的是關(guān)鍵年期的利率發(fā)生變化時，債券價格的敏感性。一般而言，人們假定關(guān)鍵年期利率對其他非關(guān)鍵年期利率的影響是簡單的線性關(guān)系(例如線性遞減關(guān)系)，且關(guān)鍵利率變動的影響對其他關(guān)鍵年點(diǎn)的影響為零。
(一)計算步驟：
1. 選擇利率水平變化的關(guān)鍵年期，如默認(rèn)可選擇：1年、3年、5年、7年、10年、
15年、20年和30年。
2. 設(shè)定其他期限利率隨關(guān)鍵期限利率變動的關(guān)系：假定關(guān)鍵期限利率對非關(guān)鍵期限利率的影響是單純線性關(guān)系——關(guān)鍵年利率變動最大，其附近期限的利率變動線性遞減，到鄰近的關(guān)鍵年點(diǎn)時這種影響已經(jīng)遞減為零。 具體而言，假定7年期利率上升10bp，由于7年期利率與右側(cè)10年期利率的時間隔3年，所以當(dāng)7年期利率發(fā)生變動時，對于右側(cè)利率的影響將以每年10/3=3.33bp的速度下降(因?yàn)?年期利率和
10年期利率均為關(guān)鍵期限利率，且關(guān)鍵期限利率的變動對其他關(guān)鍵期限利率無影 響)。因此，當(dāng)7年期利率上升10bp時，8年期的利率上升6.67bp，9年期的利率上升10-2×3.33=3.33bp，依次類推，10年期的利率不受影響。
當(dāng)7年期的利率發(fā)生變動時，也會影響7年期以下的利率。因?yàn)?年期利率與左 側(cè)的5年期利率相隔2年，所以7年期利率上升10bp的影響將以每年10/2=5bp的速度下
1 楊筱燕，博士， FRM ，中國銀河證券股份有限公司風(fēng)險管理部總監(jiān)。電子郵件：
xyzbeijing@gmail.com。
降。因此，當(dāng)7年期利率上升10bp時，6年期利率上升10-5=5bp，相應(yīng)的，5.5年期利率上升10-1.5×5=2.5bp，以此類推。
3.假定第n個關(guān)鍵年的利率分別向上和向下發(fā)生一個微小的變動y ，根據(jù)上述關(guān)鍵年利率變動的關(guān)系，可構(gòu)建新的期限結(jié)構(gòu)和按以上規(guī)則變動后的到期收益率曲線，并以之分別計算變化后的債券或組合市值V+ ,V- 。結(jié)合當(dāng)前債券的市值V0 ，得到
該n年期的關(guān)鍵利率久期為：
n
D = V- -V+ ， y假設(shè)為1%
2V0y
其中，V+ 是利率上升y 時債券的價格、V- 是利率下降y 時債券的價格，V0 是債券的當(dāng)前價格。以10年期與7年期主干點(diǎn)變動100個基點(diǎn)的影響舉例見下圖。
1%
5Y 7Y
8Y 10Y
15Y
(二)水平期限結(jié)構(gòu)下關(guān)鍵年利率久期的計算
關(guān)鍵利率久期的關(guān)鍵點(diǎn)既可以取自正常的期限結(jié)構(gòu)，也可以取自完全水平的期限結(jié)構(gòu)(到期收益率模式)。
在水平的期限結(jié)構(gòu)下，各年期的關(guān)鍵利率久期之和等于修正久期。因?yàn)槊恳粋€現(xiàn)金流都會在計算相鄰主干點(diǎn)的關(guān)鍵利率久期時被計算兩次，而兩次的加總恰好等于修正久期中這一年現(xiàn)金流產(chǎn)生的久期，所以把所有關(guān)鍵利率久期相加，之和等于修正久期。
現(xiàn)金流付息時間
02009-5-26
02010-5-26
02011-5-26
02012-5-26
02013-5-26
1002014-5-26
對于一只零息債券而言，在水平的利率期限結(jié)構(gòu)下，其關(guān)鍵利率久期之和即為該債券的修正久期。
70.33
現(xiàn)價
到期收益率久期修正久期有效久期凸性理論價格關(guān)鍵年久期之和
6.10%5.945.605.5536.6470.345.60
水平收益率曲線下關(guān)鍵年久期之和等于修正久期的具體推導(dǎo)：
y1
Y1
y
Y2
2
KD = V1- -V1+ + V2- -V2+ = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2 = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2
n 2V y 2V y 2V y y 2V y y 2V y y 2V y y
0 0 0 1 0 2 0 1 0 2
對于某一個零息票債券： V1- -V1+ V2- -V2+ dP ， y = y + y ，
2V y 2V y P 1 2
0 1 0 2
V1,V2 分別為前后兩個關(guān)鍵年利率變動后，債券的價值;
y1, y2 為債券對應(yīng)的關(guān)鍵利率調(diào)整形成的實(shí)際利率變動。
所以 KD
dP × ( y1 + y2 ) = dP
n P y P
由于零息債券關(guān)鍵利率久期相加等于修正久期，且付息債可以視為一系列零息債券的組合，所以對于一般的付息債而言，關(guān)鍵利率久期之和也等于修正久期。
(一)計算步驟：
1. 選擇利率水平變化的關(guān)鍵年期，如默認(rèn)可選擇：1年、3年、5年、7年、10年、
15年、20年和30年。
2. 設(shè)定其他期限利率隨關(guān)鍵期限利率變動的關(guān)系：假定關(guān)鍵期限利率對非關(guān)鍵期限利率的影響是單純線性關(guān)系——關(guān)鍵年利率變動最大，其附近期限的利率變動線性遞減，到鄰近的關(guān)鍵年點(diǎn)時這種影響已經(jīng)遞減為零。 具體而言，假定7年期利率上升10bp，由于7年期利率與右側(cè)10年期利率的時間隔3年，所以當(dāng)7年期利率發(fā)生變動時，對于右側(cè)利率的影響將以每年10/3=3.33bp的速度下降(因?yàn)?年期利率和
10年期利率均為關(guān)鍵期限利率，且關(guān)鍵期限利率的變動對其他關(guān)鍵期限利率無影 響)。因此，當(dāng)7年期利率上升10bp時，8年期的利率上升6.67bp，9年期的利率上升10-2×3.33=3.33bp，依次類推，10年期的利率不受影響。
當(dāng)7年期的利率發(fā)生變動時，也會影響7年期以下的利率。因?yàn)?年期利率與左 側(cè)的5年期利率相隔2年，所以7年期利率上升10bp的影響將以每年10/2=5bp的速度下
1 楊筱燕，博士， FRM ，中國銀河證券股份有限公司風(fēng)險管理部總監(jiān)。電子郵件：
xyzbeijing@gmail.com。
降。因此，當(dāng)7年期利率上升10bp時，6年期利率上升10-5=5bp，相應(yīng)的，5.5年期利率上升10-1.5×5=2.5bp，以此類推。
3.假定第n個關(guān)鍵年的利率分別向上和向下發(fā)生一個微小的變動y ，根據(jù)上述關(guān)鍵年利率變動的關(guān)系，可構(gòu)建新的期限結(jié)構(gòu)和按以上規(guī)則變動后的到期收益率曲線，并以之分別計算變化后的債券或組合市值V+ ,V- 。結(jié)合當(dāng)前債券的市值V0 ，得到
該n年期的關(guān)鍵利率久期為：
n
D = V- -V+ ， y假設(shè)為1%
2V0y
其中，V+ 是利率上升y 時債券的價格、V- 是利率下降y 時債券的價格，V0 是債券的當(dāng)前價格。以10年期與7年期主干點(diǎn)變動100個基點(diǎn)的影響舉例見下圖。
1%
5Y 7Y
8Y 10Y
15Y
(二)水平期限結(jié)構(gòu)下關(guān)鍵年利率久期的計算
關(guān)鍵利率久期的關(guān)鍵點(diǎn)既可以取自正常的期限結(jié)構(gòu)，也可以取自完全水平的期限結(jié)構(gòu)(到期收益率模式)。
在水平的期限結(jié)構(gòu)下，各年期的關(guān)鍵利率久期之和等于修正久期。因?yàn)槊恳粋€現(xiàn)金流都會在計算相鄰主干點(diǎn)的關(guān)鍵利率久期時被計算兩次，而兩次的加總恰好等于修正久期中這一年現(xiàn)金流產(chǎn)生的久期，所以把所有關(guān)鍵利率久期相加，之和等于修正久期。
現(xiàn)金流付息時間
02009-5-26
02010-5-26
02011-5-26
02012-5-26
02013-5-26
1002014-5-26
對于一只零息債券而言，在水平的利率期限結(jié)構(gòu)下，其關(guān)鍵利率久期之和即為該債券的修正久期。
70.33
現(xiàn)價
到期收益率久期修正久期有效久期凸性理論價格關(guān)鍵年久期之和
6.10%5.945.605.5536.6470.345.60
水平收益率曲線下關(guān)鍵年久期之和等于修正久期的具體推導(dǎo)：
y1
Y1
y
Y2
2
KD = V1- -V1+ + V2- -V2+ = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2 = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2
n 2V y 2V y 2V y y 2V y y 2V y y 2V y y
0 0 0 1 0 2 0 1 0 2
對于某一個零息票債券： V1- -V1+ V2- -V2+ dP ， y = y + y ，
2V y 2V y P 1 2
0 1 0 2
V1,V2 分別為前后兩個關(guān)鍵年利率變動后，債券的價值;
y1, y2 為債券對應(yīng)的關(guān)鍵利率調(diào)整形成的實(shí)際利率變動。
所以 KD
dP × ( y1 + y2 ) = dP
n P y P
由于零息債券關(guān)鍵利率久期相加等于修正久期，且付息債可以視為一系列零息債券的組合，所以對于一般的付息債而言，關(guān)鍵利率久期之和也等于修正久期。
